张联忠等——用圆锥曲线的配极原理证明三角形外接圆恒过定点试题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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用圆锥曲线的配极原理证明三角形

外接圆恒过定点试题

四川南充      张联忠

浙江省平阳中学   洪一平

湖北省阳新县高级中学       邹生书

题目：过点Q(2,1)的动直线l与抛物线y²=8x相交于M,N两点,过M,N两点作抛物线的切线交于点A,交轴于B,C两点。

(1)求证△ABC的外接圆恒过定点，并求出定点的坐标；

(2)求△ABC外接圆半径的最小值。

解：（1）由圆锥曲线极点与极线的性质知，两切线交点A在点Q关于抛物线的极线y=4(x+2)上，于是设A(m-2,4m),则点A对应的极线MN的方程为：

4my=4(x+m-2),得x=my-m+2,

代入抛物线方程得y²-8my+8(m-2)=0    (*)

所以AM⊥FB,所以AF是△ABC外接圆的直径，

又由（1）知点A在直线y=4(x+2)上，

故直径AF的最小值就是焦点F到这条直线

的距离16/√17，

于是△ABC外接圆半径的最小值为8/√17。

补充：圆锥曲线极点与极线的定义与常用性质

1.圆锥曲线极点和极线的定义

2.圆锥曲线的极点和极线的几何意义

定理  已知点P和直线l是圆锥曲线C的一对极点和极线。

（1）若极点P在曲线C上，则极线l就是曲线C在点P处的切线；

（2）若过极点P可作曲线C的两条切线,M.N为切点，则极线l就是直线MN；

（3）若过极点P的直线与曲线C相交于M,N两点，则曲线C在M,N两点处的两

条切线的交点Q在极线l上；

（4）若过极线l上一点Q可作C的两条切线,M,N为切点，则直线MN必过极点P.

   下面是张联忠老师发到高中数学解题交流二群的解法图片：

  接下来是洪一平老师发到高中数学解题交流二群的解法

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2020年9月至2020年11月

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